Deuxième identité remarquable

Propriété Deuxième identité remarquable (carré d'une différence)

Pour tous réels \(a\) et \(b\) , on a : \((a-b)^2=a^2\color{red}-2ab+b^2\).

Remarques

• Le double produit est précédé d'un signe moins.
• Lorsqu'on lit la deuxième identité remarquable de la gauche vers la droite, on développe.
• Lorsqu'on lit la deuxième identité remarquable de la droite vers la gauche, on factorise.
  

Démonstration

Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels.
On utilise la première identité remarquable.
On a ainsi :
\((a-b)^2=(a+(-b))^2=a^2+2\times a\times (-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2\).

Exemples Développement

Développons les expressions suivantes.

• `(3-x)^2=3^2-2\times 3\times x+x^2=9-6x+x^2`.
  
• \(\left(\dfrac{2}{3}-6x\right)^2=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-2\times\dfrac{2}{3}\times6x+(6x)^2=\dfrac{4}{9}-\dfrac{2\times 2\times 6x}{3}+36x^2=\dfrac{4}{9}-8x+36x^2\)

Exemples Factorisation

Factorisons les expressions suivantes.

• \(1-2x+x^2=1-2\times 1\times x+x^2=(1-x)^2\).
  
• \(\dfrac{1}{4}-x+x^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-2\times \dfrac{1}{2}\times x+x^2=\left(\dfrac{1}{2}-x\right)^2\).
  

Exemple Application au calcul numérique

Écrivons le nombre \((5-\sqrt{2})^2\) sous la forme de \(a\sqrt{b}\) , où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels positifs :
\((5-\sqrt{2})^2=5^2-2\times 5\times \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=25-10\sqrt{2}+2=27-10\sqrt{2}\).